Re: матанализная задачка

========================

найти предел lim(sqrt(x^2 + x +1) - sqrt(x^2 - x) ) , x-> +бесконечность

Решение должно быть совсем простым, но я не знаю, что сделать с корнями

========================

советуют умножить на сопряженное и разделить

Re: матанализная задачка

далее нить рассуждений:

===========================

в знаменателе получается бесконечность - бесконечность (второй корень).

===========================

и то и другое слагаемое должно иметь асимптотой y = x, это уже доказать можно: например, делением и получением единицы в пределе. Отсюда добавлением и вычитанием x внутри того предела получим 0 + 0 = 0

===========================

Через сопряженное — алгебраичнее и стандартный прием.

===========================

очевидно, что: [math]$$\sqrt{x^2 + x +1} - x \to 0$$[/math] (  http://img291.imageshack.us/img291/7092/mathimg0php.png ) [math]$$\sqrt{x^2 - x} - x \to 0$$[/math] (  http://img11.imageshack.us/img11/6989/mathimgphp.png ) Отсюда следует, что искомый предел равен нулю.

ну дак вот народ не согласен с последними двумя картинками и говорит, что предел нулю не равен, но я чтото не въезжаю почему. Ведь x^2 растет в пределе к бесконечности гораздо быстрее, нежели чем x, и потому можно считать, что в пределе определяющим членом будет всегда x^2, а первая степень икса - второй порядок малости

Re: матанализная задачка

>Ведь x^2 растет в пределе к бесконечности гораздо быстрее, нежели чем x, и потому можно считать, что в пределе определяющим членом будет всегда x^2, а первая степень икса - второй порядок малости
Если рассуждать понятиями "растёт гораздо быстрее", "определяющий член" и "второй порядок малости", то тогда можно даже не преобразовывать исходное уравнение и получить тот же ноль.

P.S. забыл давно все пределы, хз как это математически точно доказывать.

Re: матанализная задачка

> Если рассуждать понятиями "растёт гораздо быстрее", "определяющий член" и "второй порядок малости", то тогда можно даже не преобразовывать исходное уравнение и получить тот же ноль.
а как еще иначе то рассуждать

> P.S. забыл давно все пределы, хз как это математически точно доказывать.
да думаешь я сам знаю чтоли? =)

мне вот непонятна аргументация одного из товарищей в том треде что мол

"Там один предел равен 1/2, а второй равен -1/2." для соответственно для sqrt(x^2 + x +1) - sqrt(x^2 - x) и тоже будет ноль. два разных подхода - но решение одинаковое.

Re: матанализная задачка

ну разобрался вобщем и в целом относительно предела этого

Re: матанализная задачка

не будет оно равно нулю. в данном конкретном случае ты не имеешь права делать "lim(x-y)->lim(x)-lim(y)", ибо неопределенность. учите математику.

Re: матанализная задачка

Достал пылящегося на полке Фихтенгольца и понял что я дурак. Нельзя без преобразований что-либо сказать, получается неопределённость.

Re: матанализная задачка

>ну дак вот народ не согласен с последними двумя картинками и говорит, что предел нулю не равен, но я чтото не въезжаю почему. Ведь x^2 растет в пределе к бесконечности гораздо быстрее, нежели чем x, и потому можно считать, что в пределе определяющим членом будет всегда x^2, а первая степень икса - второй порядок малости
да, забыл еще по этому пройтись. берем предел, где, казалось бы, ответ очевиден - lim(x^2 - x^2 + x) и решаем его точно таким же способом: т.к. "Ведь x^2 растет в пределе к бесконечности гораздо быстрее, нежели чем x, и потому можно считать, что в пределе определяющим членом будет всегда x^2", ответ получается 0. не правда ли абсурдно?

Re: матанализная задачка

 http://img260.imageshack.us/img260/7590/xxxys.jpg

Re: матанализная задачка

так не предлагается ведь разбивать сходящийся предел Корень_1-Корень_2 на разность расходящихся (Корень_1 и Корень_2 по-отдельности). Альтернативное предложение Корень_1-Корень_2=(Корень_1-x)-(Корень_2-x) — это также разбиение сходящегося предела на разность сходящихся (в каждой из скобок)

вобщем я наверное спать пойду, ибо тут вырисовываются решения 0, 1 и неопределенность, бррр.

Re: матанализная задачка

>  http://img260.imageshack.us/img260/7590/xxxys.jpg
+питцот

Re: матанализная задачка

> советуют умножить на сопряженное и разделить
ИМХО правильно советуют. У меня тож сразу же такое мысль возникло. А потом Лопиталем ево.

Re: матанализная задачка

>вобщем я наверное спать пойду, ибо тут вырисовываются решения 0, 1 и неопределенность, бррр.
решением будет +inf))) можешь посчитать:

while(true)

{cout<<sqrt(x*x+x+1)-sqrt(x*x-x);

x++;}

только вот как это доказать формально... задачка то школьная, только как ее решать я уже не помню)

Re: матанализная задачка

Странно, я тут нарешал другой ответ.

 http://omploader.org/vMmx1cw

Единица получается, т.к. 1/x^n стремится к нулю. Что-то ночью плохо соображается.

Re: матанализная задачка

>lim(sqrt(x^2 + x +1) - sqrt(x^2 - x) ) , x-> +бесконечность

a1 = sqrt(x^2 + x +1)

b1 = sqrt(x^2 - x)

lg(a) = a1, a = e^(a1) lg(b) = b1, b = e^(b1)

lim( lg(a) - lg(b) ) = lim( lg(a/b) ) = lim( lg( e^(a1/b1) ) = 1

lim(a1/b1) = lim( sqrt( (x^2 + x +1)/(x^2 - x) ) ) = lim( sqrt( (1 + 1/x + 1/x^2)/(1 - 1/x) ) ) = 1

Re: матанализная задачка

предел равен 1

выносишь x^2 из под корня, а что останется разлагаешь по тейлору (достаточно первого члена). Коэфффициенты нулевого порядка сокращаются и остается x*(1/2*1/x-(-1/2*1/x)) т.е. 1

Вот такого сорта примеры и нужны на капчи.

Re: матанализная задачка

 http://i018.radikal.ru/0910/3c/ccfa86d024fc.png

Re: матанализная задачка

>предел равен 1
осталось только понять, какого хуя функция y=sqrt(x*x+x+1)-sqrt(x*x-x) вдруг в бесконечности дает 1.

Re: матанализная задачка

> lim( lg(a/b) ) = lim( lg( e^(a1/b1) )
откуда это равенство там вообще-то получается

lim( lg(a/b) ) = lim( lg( e^(a1-b1) )

а твое равенство неверное возьми например a1=x+2 b1=x подставив в твое равенство получим

a=e^(x+2) b=e^x

lim( lg(a/b) ) =2

im( lg( e^(a1/b1) ) =1

????